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The main reason for learning about math is to become a better problem solver in all aspects of life. Many problems are multistep and require some type of systematic approach. There are a couple of things you need to do when solving problems. Ask yourself exactly what type of information is being asked for: Is it one of addition, subtraction, multiplication , or division? Then determine all the information that is being given to you in the question.

Mathematician George Pólya’s book, “ How to Solve It: A New Aspect of Mathematical Method ,” written in 1957, is a great guide to have on hand. The ideas below, which provide you with general steps or strategies to solve math problems, are similar to those expressed in Pólya’s book and should help you untangle even the most complicated math problem.

Use Established Procedures

Learning how to solve problems in mathematics is knowing what to look for. Math problems often require established procedures and knowing what procedure to apply. To create procedures, you have to be familiar with the problem situation and be able to collect the appropriate information, identify a strategy or strategies, and use the strategy appropriately.

Problem-solving requires practice. When deciding on methods or procedures to use to solve problems, the first thing you will do is look for clues, which is one of the most important skills in solving problems in mathematics. If you begin to solve problems by looking for clue words, you will find that these words often indicate an operation.

Look for Clue Words

Think of yourself as a math detective. The first thing to do when you encounter a math problem is to look for clue words. This is one of the most important skills you can develop. If you begin to solve problems by looking for clue words, you will find that those words often indicate an operation.

Common clue words for addition  problems:

Common clue words for  subtraction  problems:

• How much more

Common clue words for multiplication problems:

Common clue words for division problems:

Although clue words will vary a bit from problem to problem, you'll soon learn to recognize which words mean what in order to perform the correct operation.

Read the Problem Carefully

This, of course, means looking for clue words as outlined in the previous section. Once you’ve identified your clue words, highlight or underline them. This will let you know what kind of problem you’re dealing with. Then do the following:

• Ask yourself if you've seen a problem similar to this one. If so, what is similar about it?
• What did you need to do in that instance?
• What facts are you given about this problem?
• What facts do you still need to find out about this problem?

Develop a Plan and Review Your Work

Based on what you discovered by reading the problem carefully and identifying similar problems you’ve encountered before, you can then:

• Define your problem-solving strategy or strategies. This might mean identifying patterns, using known formulas, using sketches, and even guessing and checking.
• If your strategy doesn't work, it may lead you to an ah-ha moment and to a strategy that does work.

If it seems like you’ve solved the problem, ask yourself the following:

• Does your solution seem probable?
• Does it answer the initial question?
• Did you answer using the language in the question?
• Did you answer using the same units?

If you feel confident that the answer is “yes” to all questions, consider your problem solved.

Tips and Hints

Some key questions to consider as you approach the problem may be:

• What are the keywords in the problem?
• Do I need a data visual, such as a diagram, list, table, chart, or graph?
• Is there a formula or equation that I'll need? If so, which one?
• Will I need to use a calculator? Is there a pattern I can use or follow?

Read the problem carefully, and decide on a method to solve the problem. Once you've finished working the problem, check your work and ensure that your answer makes sense and that you've used the same terms and or units in your answer.

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Module 1: Problem Solving Strategies

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• Page ID 10352

Unlike exercises, there is never a simple recipe for solving a problem. You can get better and better at solving problems, both by building up your background knowledge and by simply practicing. As you solve more problems (and learn how other people solved them), you learn strategies and techniques that can be useful. But no single strategy works every time.

Pólya’s How to Solve It

George Pólya was a great champion in the field of teaching effective problem solving skills. He was born in Hungary in 1887, received his Ph.D. at the University of Budapest, and was a professor at Stanford University (among other universities). He wrote many mathematical papers along with three books, most famously, “How to Solve it.” Pólya died at the age 98 in 1985.1

1. Image of Pólya by Thane Plambeck from Palo Alto, California (Flickr) [CC BY

In 1945, Pólya published the short book How to Solve It , which gave a four-step method for solving mathematical problems:

First, you have to understand the problem.

After understanding, then make a plan.

Carry out the plan.

Look back on your work. How could it be better?

This is all well and good, but how do you actually do these steps?!?! Steps 1. and 2. are particularly mysterious! How do you “make a plan?” That is where you need some tools in your toolbox, and some experience to draw upon.

Much has been written since 1945 to explain these steps in more detail, but the truth is that they are more art than science. This is where math becomes a creative endeavor (and where it becomes so much fun). We will articulate some useful problem solving strategies, but no such list will ever be complete. This is really just a start to help you on your way. The best way to become a skilled problem solver is to learn the background material well, and then to solve a lot of problems!

Problem Solving Strategy 1 (Guess and Test)

Make a guess and test to see if it satisfies the demands of the problem. If it doesn't, alter the guess appropriately and check again. Keep doing this until you find a solution.

Mr. Jones has a total of 25 chickens and cows on his farm. How many of each does he have if all together there are 76 feet?

Step 1: Understanding the problem

We are given in the problem that there are 25 chickens and cows.

All together there are 76 feet.

Chickens have 2 feet and cows have 4 feet.

We are trying to determine how many cows and how many chickens Mr. Jones has on his farm.

Step 2: Devise a plan

Going to use Guess and test along with making a tab

Many times the strategy below is used with guess and test.

Make a table and look for a pattern:

Procedure: Make a table reflecting the data in the problem. If done in an orderly way, such a table will often reveal patterns and relationships that suggest how the problem can be solved.

Step 3: Carry out the plan:

Notice we are going in the wrong direction! The total number of feet is decreasing!

Better! The total number of feet are increasing!

Step 4: Looking back:

Check: 12 + 13 = 25 heads

24 + 52 = 76 feet.

We have found the solution to this problem. I could use this strategy when there are a limited number of possible answers and when two items are the same but they have one characteristic that is different.

Videos to watch:

1. Click on this link to see an example of “Guess and Test”

http://www.mathstories.com/strategies.htm

2. Click on this link to see another example of Guess and Test.

http://www.mathinaction.org/problem-solving-strategies.html

Check in question 1:

Place the digits 8, 10, 11, 12, and 13 in the circles to make the sums across and vertically equal 31. (5 points)

Check in question 2:

Old McDonald has 250 chickens and goats in the barnyard. Altogether there are 760 feet . How many of each animal does he have? Make sure you use Polya’s 4 problem solving steps. (12 points)

Problem Solving Strategy 2 (Draw a Picture). Some problems are obviously about a geometric situation, and it is clear you want to draw a picture and mark down all of the given information before you try to solve it. But even for a problem that is not geometric thinking visually can help!

Videos to watch demonstrating how to use "Draw a Picture".

1. Click on this link to see an example of “Draw a Picture”

2. Click on this link to see another example of Draw a Picture.

Problem Solving Strategy 3 ( Using a variable to find the sum of a sequence.)

Gauss's strategy for sequences.

last term = fixed number ( n -1) + first term

The fix number is the the amount each term is increasing or decreasing by. "n" is the number of terms you have. You can use this formula to find the last term in the sequence or the number of terms you have in a sequence.

Ex: 2, 5, 8, ... Find the 200th term.

Last term = 3(200-1) +2

Last term is 599.

To find the sum of a sequence: sum = [(first term + last term) (number of terms)]/ 2

Sum = (2 + 599) (200) then divide by 2

Sum = 60,100

Check in question 3: (10 points)

Find the 320 th term of 7, 10, 13, 16 …

Then find the sum of the first 320 terms.

Problem Solving Strategy 4 (Working Backwards)

This is considered a strategy in many schools. If you are given an answer, and the steps that were taken to arrive at that answer, you should be able to determine the starting point.

Videos to watch demonstrating of “Working Backwards”

https://www.youtube.com/watch?v=5FFWTsMEeJw

Karen is thinking of a number. If you double it, and subtract 7, you obtain 11. What is Karen’s number?

1. We start with 11 and work backwards.

2. The opposite of subtraction is addition. We will add 7 to 11. We are now at 18.

3. The opposite of doubling something is dividing by 2. 18/2 = 9

4. This should be our answer. Looking back:

9 x 2 = 18 -7 = 11

5. We have the right answer.

Check in question 4:

Christina is thinking of a number.

If you multiply her number by 93, add 6, and divide by 3, you obtain 436. What is her number? Solve this problem by working backwards. (5 points)

Problem Solving Strategy 5 (Looking for a Pattern)

Definition: A sequence is a pattern involving an ordered arrangement of numbers.

We first need to find a pattern.

Ask yourself as you search for a pattern – are the numbers growing steadily larger? Steadily smaller? How is each number related?

Example 1: 1, 4, 7, 10, 13…

Find the next 2 numbers. The pattern is each number is increasing by 3. The next two numbers would be 16 and 19.

Example 2: 1, 4, 9, 16 … find the next 2 numbers. It looks like each successive number is increase by the next odd number. 1 + 3 = 4.

So the next number would be

25 + 11 = 36

Example 3: 10, 7, 4, 1, -2… find the next 2 numbers.

In this sequence, the numbers are decreasing by 3. So the next 2 numbers would be -2 -3 = -5

-5 – 3 = -8

Example 4: 1, 2, 4, 8 … find the next two numbers.

This example is a little bit harder. The numbers are increasing but not by a constant. Maybe a factor?

So each number is being multiplied by 2.

16 x 2 = 32

1. Click on this link to see an example of “Looking for a Pattern”

2. Click on this link to see another example of Looking for a Pattern.

Problem Solving Strategy 6 (Make a List)

Example 1 : Can perfect squares end in a 2 or a 3?

List all the squares of the numbers 1 to 20.

1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400.

Now look at the number in the ones digits. Notice they are 0, 1, 4, 5, 6, or 9. Notice none of the perfect squares end in 2, 3, 7, or 8. This list suggests that perfect squares cannot end in a 2, 3, 7 or 8.

How many different amounts of money can you have in your pocket if you have only three coins including only dimes and quarters?

Quarter’s dimes

0 3 30 cents

1 2 45 cents

2 1 60 cents

3 0 75 cents

Videos demonstrating "Make a List"

Check in question 5:

How many ways can you make change for 23 cents using only pennies, nickels, and dimes? (10 points)

Problem Solving Strategy 7 (Solve a Simpler Problem)

Geometric Sequences:

How would we find the nth term?

Solve a simpler problem:

1, 3, 9, 27.

1. To get from 1 to 3 what did we do?

2. To get from 3 to 9 what did we do?

Let’s set up a table:

Term Number what did we do

Looking back: How would you find the nth term?

Find the 10 th term of the above sequence.

Let L = the tenth term

Problem Solving Strategy 8 (Process of Elimination)

This strategy can be used when there is only one possible solution.

I’m thinking of a number.

The number is odd.

It is more than 1 but less than 100.

It is greater than 20.

It is less than 5 times 7.

The sum of the digits is 7.

It is evenly divisible by 5.

a. We know it is an odd number between 1 and 100.

b. It is greater than 20 but less than 35

21, 23, 25, 27, 29, 31, 33, 35. These are the possibilities.

c. The sum of the digits is 7

21 (2+1=3) No 23 (2+3 = 5) No 25 (2 + 5= 7) Yes Using the same process we see there are no other numbers that meet this criteria. Also we notice 25 is divisible by 5. By using the strategy elimination, we have found our answer.

Check in question 6: (8 points)

Jose is thinking of a number.

The number is not odd.

The sum of the digits is divisible by 2.

The number is a multiple of 11.

It is greater than 5 times 4.

It is a multiple of 6

It is less than 7 times 8 +23

What is the number?

Click on this link for a quick review of the problem solving strategies.

https://garyhall.org.uk/maths-problem-solving-strategies.html

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Home ▸ Didattica ▸ Un approccio al problem solving

Un approccio al problem solving

In un ottica infatti nella quale si guarda alla scuola non solo come ad un servizio preposto alla trasmissione di sapere, ma come luogo destinato alla formazione del carattere dei ragazzi, ritengo che sia indispensabile insegnare l’attitudine al problem solving almeno per due ragioni:

la prima è legata alla società nella quale viviamo: se si osservano le inserzioni per ricerca di personale da parte delle aziende una delle caratteristiche che vengono richieste più frequentemente è l’attitudine al problem solving. Questo perché quella di oggi è una società ad elevato livello di complessità e molte delle competenze acquisite tramite la formazione matematica (la capacità di astrazione, di semplificazione, di problem solving) sono elementi costitutivi dell’individualità umana quasi imprescindibili, elementi in grado di rendere gli studenti futuri cittadini che possono esercitare un ruolo attivo e consapevole nella società,

la seconda è legata ad un aspetto più spirituale o di realizzazione personale: in una società frenetica in cui tutto sembra sempre troppo grande e troppo complicato da affrontare (soprattutto per i giovani) è molto utile insegnar loro il corretto modo di approcciarsi ai problemi, la serena pazienza a non volere tutto e subito, la capacità di non precipitarsi alla conclusione di ciò che si sta facendo in fretta, mantenendo sotto controllo l’ansia che vorrebbe che ci fosse già la soluzione pronta, gestendo le proprie emozioni, comprendendo come funziona in realtà i processo di risoluzione dei problemi (non è casuale la citazione iniziale di questa tesi). Questo obiettivo, certo, non è completamente raggiungibile in classe, ma credo sia doveroso da parte di un docente gettare un seme di questa consapevolezza negli alunni, che poi eventualmente germoglierà in modo autonomo in essi. Si deve tendere insomma anche a raggiungere questo obiettivo, tenendolo indubbiamente in considerazione. Ci sono poi svariati altri atteggiamenti di grandissima valenza formativa insegnabili tramite il problem solving, come la capacita di non arrendersi di fronte alle sconfitte (non sempre un problema può “venire” immediatamente) e dunque di affrontare i fallimenti.

Si è in grado così di dare, a mio avviso, la giusta dimensione, il significato reale di quello che è il processo di sviluppo, o il progresso scientifico, fatto di tentativi ed errori prima di arrivare alla formula finale vincente. Si ha dunque la necessità e l’opportunità di trasmettere in questo modo un’idea corretta di matematica e dell’approccio scientifico. In caso contrario “si corre il rischio che proprio il luogo destinato a far crescere i ragazzi, a stimolare la loro curiosità, la loro creatività, porti ad un appiattimento, nel quale questa disciplina trasforma gli allievi in individui passivi, solo esecutori di procedure e regole prestabilite, decise e dettate da altri e ripetute meccanicamente. Questo è un punto molto delicato. Non si deve perdere l’idea di scuola come luogo di sperimentazione nel quale i ragazzi si mettono in gioco e conquistano gli strumenti culturali necessari per la propria crescita”.

Altre importanti caratteristiche sviluppabili attraverso l’atteggiamento propositivo verso il problem solving sono la capacità di prendere decisioni e come vedremo la creatività. Tutto questo è in linea con le indicazioni date dall’Unione Matematica Italiana (UMI) che con il suo curriculum vuole rinnovare alcune pratiche o far riflettere su che cosa sia importante insegnare. Citando il documento dell’UMI si legge infatti: “Molti… “oggetti” della matematica sono collegati sia con le componenti più dinamiche dell’economia, in quanto questa nuova presenza è strettamente connessa alle possibilità offerte dai computer, sia con molti altri aspetti dell’organizzazione nella società moderna. Quotidianamente noi usiamo molti oggetti il cui funzionamento è basato su risultati matematici e spesso su quelli più recenti. Nell’attuale società la matematica è sempre presente, ora più che mai, ma di questo non sempre siamo consapevoli, neppure noi matematici” [1]. “La frase lancia una sfida ai paesi maggiormente sviluppati e che mirano a un forte avanzamento tecnologico: è soprattutto la scuola che deve farsene concretamente carico. L’Italia non può non raccogliere questo invito pressante.”

Inoltre, in riferimento alle linee guida a cui è bene rifarsi nell’esercizio della propria professione, nella circolare ministeriale riguardante il Piano Nazionale per l’introduzione dell’informatica nelle scuole secondarie superiori si legge: “La Matematica, parte rilevante del pensiero umano ed elemento motore dello stesso pensiero filosofico, ha in ogni tempo operato su due fronti: da una parte si è rivolta a risolvere problemi ed a rispondere ai grandi interrogativi cheman mano l’uomo si poneva sul significato della realtà che lo circonda, dall’altra, sviluppandosi autonomamente, ha posto affascinanti interrogativi sulla portata, il significato e la consistenza delle sue stesse costruzioni culturali”.

Questa tesi parte dall’ipotesi, basata sui dati dei primi due capitoli, che l’insegnamento odierno sia sbilanciato e che non si dia assolutamente rilievo alla parte inerente la risoluzione dei problemi che è una delle attività principali in matematica. Si metterà a tema della tesi la convinzione che per motivare gli studenti allo studio della disciplina sia indispensabile mettere in rilievo aspetti che nel curriculum attuale sono trascurati. In pratica è necessaria una reinterpretazione di alcuni argomenti in modo da far capire agli alunni che cos’è la matematica esplicitando che essa non è solamente una collezione di sterili formule da applicare, ma cercando di trovare il più possibile un legame con la realtà, o meglio con il loro essere uomini, sfruttando processi mentali che hanno a che fare con il loro agire quotidiano portandoli a sviluppare competenze ed atteggiamenti imprescindibili per i cittadini delle società di domani prima di dar loro delle tecniche di calcolo.

Si è riflettuto sul fatto che mettere in rilievo questo lato della disciplina non è una cosa che va fatta una volta, magari all’inizio dell’anno con una introduzione all’argomento (e nel capitolo 3 è indicata una modalità con la quale questo può essere fatto), ma ogni volta che se ne ha l’occasione vanno trovati i legami concreti con l’attività di problem solving. In caso contrario questo collegamento iniziale rimarrà solo un introduzione poco fruttuosa. Per questo nel capitolo 4 si propone un esempio di come si può trattare ed affrontare un argomento attraverso il problem solving.

Attualmente nella pratica della didattica matematica si hanno due generi di problemi: la scarsa motivazione a far matematica e la scarsa capacità di risolvere problemi; proponendo una matematica “per problemi” potremmo migliorare la competenza negli alunni inerente il problem solving e motivarli facendo loro vedere i processi che portano a costruire matematica È certo che non si può neanche pensare ad una matematica fatta solo di problemi in quanto è imprescindibile che si debba fare anche un lavoro di sistematizzazione del sapere, attraverso strumenti e tecniche che si sono consolidate nel tempo, ma se il processo di motivazione allo studio della materia può aver luogo tramite l’approccio per problemi questo permetterà agli alunni di arricchirsi a livello cognitivo anche di tutte le altre attitudini precipue di questa disciplina (certamente non tutte sviluppabili tramite la risoluzione di problemi) quali: “tutte le facoltà intuitive e logiche, l’educazione ai procedimenti euristici e ai processi di astrazione e di formalizzazione di concetti, la capacità di ragionare induttivamente e deduttivamente, le attitudini sia analitiche che sintetiche, il ragionamento e la riflessione, la capacità di sistemare logicamente e riesaminare criticamente le conoscenze via via acquisite,la facoltà di prendere decisioni…”, contribuendo in modo attivo alla formazione del carattere nei nostri studenti.

PRESENTAZIONE

INTRODUZIONE

CAPITOLO 1 1. L’esperienza di tirocinio

CAPITOLO 2 2. Dati internazionali derivanti dal rapporto OCSE PISA 2.1 Caratteristiche del progetto PISA e specificità di PISA 2003 2.2 Risultati della rilevazione PISA 2003

CAPITOLO 3 3. Un approccio all’insegnamento della risoluzione dei problemi 3.1 Motivazioni fondazionali 3.2 Posizione nel curriculum scolastico di tali contenuti 3.3 Obiettivi 3.4 Come approcciarsi all’insegnamento della risoluzione dei problemi 3.5 Tecniche di risoluzione dei problemi 3.5.1 Bottom-up 3.5.2 Top-Down 3.6 Conclusioni della sezione

CAPITOLO 4 4. Proposta di un percorso didattico con approccio al problem solving 4.1 Destinatari del modulo 4.2 Abilità interessate 4.3 Prerequisiti  4.4 Obiettivi  4.5 Percorso didattico proposto: le equazioni di secondo grado 

CONCLUSIONI

BIBLIOGRAFIA

  Scarica la tesi di specializzazione SSIS Un approccio al Problem Solving

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domenica 30 settembre 2007

Problem posing e problem solving per pensare con metodo.

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8 commenti:

Il problem solving è imprenscindibilmente legato anche alla comunicatività, ovvero è un'operazione "sociale" che stimola il confronto tra allievi ma anche tra docente ed allievi. Oltre tutti i requisiti da te ottimamente indicati, si può sviluppare anche la capacità di relazionarsi correttamente con l'altro, cogliendo l'idea positiva e possibilmente risolutiva che l'altro compagno propone, continuando metacognitivamente la stessa per approdare magari a soluzioni ancora più creative. Si genera così un apprendimento comunitario nel quale ognuno da un contributo in funzione del proprio background e ognuno di questi contributi risulta essere essenziale. Ci sarebbe forse molto da dire anche sulla connessione tra problem solving e capacità empatica, ma poi mi allargherei troppo, uscendo un po' dal seminato. Buona domenica, cara. :-)

Sempre profondi e stimolanti i tuoi post, Annarì!...Già parlando di "problemi" con Giovanna, avevo ricordato qualche tempo fa come mi avesse colpito quanto scritto a proposito di problemi in ambito scolastico non ricordo più (ahi, l'età!...) se da Guido Petter o dalla Colombo Bozzolo (propenderei per quest'ultima, ma non vado a controllare...): detto in soldoni, era un invito a considerare la distinzione tra "problema-problema" e "problema-esercizio", essendo la stragrande maggioranza dei problemi assegnati a scuola di questo secondo tipo. Quando, in geometria, chiedevo ai ragazzi: "Come potremmo fare per calcolare la superficie del piano della cattedra?" si sviluppavano di solito lunghe discussioni per arrivare, attraverso vari tentativi, alla formula tradizionale, passando per varie modalità di riempimento del piano con superfici-campione di vario tipo, ecc. ecc. Quando, una volta "scoperta" la procedura sintetizzata nella famosa formula, assegnavo il solito problema "Calcola l'area di un rettangolo lungo... e largo...", beh, quello era in realtà un "problema-esercizio", necessario per fissare concetti e strategie, ma ben diverso dalla situazione problematica da cui eravamo partiti...A livello metodologico-didattico, il problema...dei "problemi" a mio parere richiede che, intanto, si prenda coscienza di quella differenza e, poi, che si propongano il più possibile "problemi-problemi", i soli che mettono in moto veramente e seriamente le capacità risolutive e creative degli alunni e non solo l'applicazione di procedure standard preventivamente già individuate. Il discorso sarebbe lungo, ma per il momento chiudo. Ciao, Annarita! Renato.

@claudia: brava! Hai riempito alcuni di quei puntini di sospensione che ho lasciato alla fine del post! No, no! Non usciresti dal seminato facendo riferimento alla connessione tra problem solving e capacità empatica. E' assolutamente attinente! Comunque sei uno a uno per il lettore scientifico e per quello matematico! @renato: che bella narrazione dell'esperienza concreta vissuta a scuola. Caro Renato hai contribuito significativamente al post, apportando la ricchezza del vissuto con gli alunni. Se non sbaglio sei a due su quattro per il lettore matematico;). Non dimenticare la segnalazione post, tramite link! Claudia, Renato, che piacere confrontarsi con voi! Ai prossimi commenti:)

lo finirò di leggere a casa davide

In Informatica procediamo allo stesso modo, soprattutto per la ricerca di strategie e algoritmi risolutivi per la fase di problem solving, naturalmente c'è un intero campo di studio sulla ricerca di soluzioni.. Si va dalla ricerca di casi di studio a seconda del tempo impiegato (suddiviso in caso massimo, medio e minimo) oppure a seconda dello spazio impiegato dalla soluzione e così via.. Naturalmente dobbiamo cercare sempre di utilizzare la miglior soluzione possibile, anche se talvolta in alcuni casi non può esistere una soluzione perfetta o ancora non esiste proprio soluzione (e in matematica ci sono frequenti esempi).

@raffaele: contributo interessante a sostegno del fatto che il problem solving è una competenza trasversale ai diversi ambiti del sapere e della conoscenza. Bravo, Raf! Sei sicuro che non vuoi partecipare all'iniziativa "il lettore matematico"? Saresti già uno a quattro....

Non appartengo al tuo settore lavorativo, ma ogni tanto passo di qui perchè mi accorgo che ho molto da imparare. Questo concetto, per esempio, è per me naturale da applicare nel mio lavoro, ma non l'avevo mai "messo a fuoco" con tanta chiarezza.

Ciao, Elena. Sono contenta che tu abbia potuto trarre giovamento da questo post, che pensato per i colleghi è sicuramente estendibile ad altri ambiti. Continua a passare di qui:), sarai sempre la benvenuta.

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